modality (圈)
possibility$ \lozenge$ \dashvnecessity$ \square
dR-shape modality$ \int_{\rm dR}$ \dashvdR-flat modality$ \flat_{\rm dR}
reduction modality$ \frak R$ \dashvinfinitesimal shape modality$ \frak F$ \dashvinfinitesimal flat modality$ \&
fermionic modality$ \rightrightarrows$ \dashvbosonic modality$ \rightsquigarrow$ \dashvrheonomy modality$ \rm Rh
classical modality$ \natural
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部分函手 (partial functor)
圈$ \bf C,$ \bf Dに對して、部分寫像$ F^{\rm obj}:|{\bf C}|\to|{\bf D}|と部分寫像$ F^{\rm mor}:{\rm Hom}_{\bf C}\to{\rm Hom}_{\bf D}の組$ F:=(F^{\rm obj},F^{\rm mor})で以下を滿たすものを部分函手$ F:{\bf C}\to{\bf D}と呼ぶ ※$ F^{\rm mor}の域を$ {\bf C}(A,B)の部分集合に制限した部分寫像を$ {F^{\rm mor}}_{A,B}と書く $ F^{\rm obj}の域に對象$ A,B\in|{\bf C}|が含まれてゐるならば、部分寫像$ {F^{\rm mor}}_{A,B}:{\bf C}(A,B)\to{\bf D}(F^{\rm obj}(A),F^{\rm obj}(B))が定義されてゐる $ F^{\rm obj}の域に對象$ A\in|{\bf C}|が含まれてゐるならば、恆等射$ {\rm id}_Aは$ {F^{\rm mor}}_{A,A}の域に含まれてゐる 合成射を保つ。射$ f:A\to B,$ g:B\to Cに對して$ {F^{\rm mor}}_{A,C}(f;g)={F^{\rm mor}}_{A,B}(f);{F^{\rm mor}}_{B,C}(g) 恆等射を保つ$ {F^{\rm mor}}_{A,A}({\rm id}_A)={\rm id}_{F^{\rm obj}(A)} 非自然變換 (non-natural transformation)
部分函手$ F,G:{\bf C}\to{\bf D}に對して、部分寫像$ \alpha:|{\bf C}|\to{\rm Hom}_{\bf D}で以下を滿たすものを非自然變換$ \alpha:F\Rarr G,A\mapsto\alpha_Aと呼ぶ $ \alpha_Aが定義されてゐる ($ \alphaの域に對象$ A\in|{\bf C}|が含まれてゐる) ならば、$ Aは$ Fの域にも$ Gの域にも含まれてゐる
$ \alpha_Aは射$ F(A)\to G(A)である
非自然變換に整合する (consistent。compatible) 射
部分函手$ F,G:{\bf C}\to{\bf D}と非自然變換$ \alpha:F\Rarr Gに對して、$ {\bf C}での射$ f:A\to Bは、可換圖式$ F(A)\xrightarrow{\alpha_A}G(A)\xrightarrow{G(f)}G(B)\xleftarrow{\alpha_B}F(B)\xleftarrow{F(f)}F(A)を滿たせば非自然變換$ \alphaに整合すると言ふ 非自然變換に整合する射の全體は、$ {\bf D}の部分圈を成す
例
$ \bf Setの附點 modality (pointed-set modality)
單集合 (singleton)$ 1=\{*\}から$ \bf Setの全ての對象への射の族$ \theta:=\{\theta_X:1\to X|X\in|{\bf Set}|\}を附點 modality (pointed-set modality) と呼ぶ。函手$ 1:{\bf Set}\to\{1\}から函手$ {\rm Id}:{\bf Set}\to{\bf Set}への全域な非自然變換$ \theta:|{\bf Set}|\to{\rm Hom}_{\bf Set}と見做せる 附點 modality が自然變換$ 1\Rarr{\rm Id},$ 1\xrightarrow{\theta_X}X\xrightarrow{f}Y\xleftarrow{\theta_Y}1\xleftarrow{}1と成る樣な射$ fを、$ \thetaと整合する射と呼ぶ
整合する射の全體は$ {\bf Set}の部分圈を成す。全ての集合になんらかの附點をつけた圈に成る
餘可換餘 monoid modality (cocommutative comonoid modality)
對稱 monoidal 圈$ ({\bf C},\otimes,1,\alpha,\lambda,\rho,\sigma)に對して、全域な非自然變換$ \Delta,\epsilon:|{\bf C}|\to{\rm Hom}_{\bf C},$ \Delta_X:X\to X\otimes X,$ \epsilon_X:X\to 1の組$ (\Delta,\epsilon)は以下を滿たせば餘可換餘 monoid modality と呼ぶ ($ \Delta_Xは餘乘法として、$ \epsilon_Xは餘單位として振る舞ふ)
餘結合律$ \Delta_X;(\Delta_X\otimes{\rm id}_X)=\Delta_X(X\otimes\Delta_X)
左餘單位律$ \Delta_X;(\epsilon_X\otimes{\rm id}_X)={\rm id}_X
右餘單位律$ \Delta_X;({\rm id}_X\otimes\epsilon_X)={\rm id}_X
餘可換律$ \Delta_X;\sigma_X=\Delta_X